Zuordnungen

Zuordnungen kommen in vielen Sachbereichen vor. Dabei werden zwei Größen einander zugeordnet (zusammengesetzte Größe).

Beispiel einer Zuordnung: Gewicht à Preis

Bei einem festgelegtem Grundpreis von 4 € pro kg wird jedem Gewicht ein Preis zugeordnet.

1) Darstellung von Zuordnungen

Zuordnungen lassen sich auf verschiedene Arten darstellen.

a) Die einfachste Form ist die Zuordnungstabelle, die senkrecht oder waagerecht angeordnet werden kann.

Senkrechte Anordnung einer Zuordnungstabelle:
 
Gewicht Preis
1 kg  4 €
1,5 kg  6 €
2 kg 8 € 
2,5 kg 10 €
3 kg 12 €
3,5 kg 14 €
4 kg 16 €
10 kg 40 €

Waagerechte Anordnung einer Zuordnungstabelle:
 
Gewicht 1 kg 1,5 kg 2 kg  2,5 kg 3 kg 3,5 kg  4 kg  10 kg 
Preis 4 € 6 € 8 €  10 €  12 € 14 € 16 € 40 €

b) Zuordnungen können auch grafischen dargestellt werden. Ein anschauliches Beispiel bietet hier das Koordinatensystem.

Im Koordinatensystem wird ein Punkt genau zwei Größen zugeordnet. Um auf einem Zeichenblatt mit Hilfe des Koordinatensystems die Lage von Punkten festzulegen, werden ein waagerechter und ein senkrechter Zahlenstrahl mit gemeinsamen Anfangspunkten gezeichnet. Der waagerechte Zahlenstrahl heißt x-Achse, der dazu senkrechte Zahlenstrahl heißt y-Achse.

Jeder Punkt zwischen den Achsen ist durch zwei Zahlen, die Koordinaten, festgelegt. Um zu dem im Koordinatensystem markierten Punkt A zu gelangen, zählen wir vom Nullpunkt aus auf der x-Achse 2 Einheiten nach rechts und von dort 8 Einheiten parallel zur y-Achse nach oben ab. Der Punkt A wird durch das Zahlenpaar ( 2 ; 8 ) festgelegt.
Man sagt auch: Der Punkt A hat die Koordinaten 2 und 8.
 
 

Proportionale Zuordnungen
 
 
Eine Zuordnung heißt proportional, wenn gilt:
Je mehr... desto mehr
Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe,
Zum Dreifachen der einen Größe gehört das Dreifachen der anderen Größe usw.,
Je weniger... desto weniger
Zur Hälfte der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe,
Zum Viertel der einen Größe gehört ein Viertel der anderen Größe usw..

Beispiel einer proportionalen Zuordnungstabelle:
 
Stoff (in m) 0,5 1 2 3 4 5 6
Preis (in €) 8 16 32 48 64 80 96
Wir erkennen proportionale Zuordnungen daran, dass einander zugeordnete Größen immer denselben Quotienten ergeben.
Wir sagen: Zusammengehörige Größen sind quotientengleich.
€ : m =
Quotient
8: 0,5 = 16 16: 1 = 16 32 : 2 = 16 48 : 3 = 16 64 : 4 = 16 80 : 5 = 16 96 : 6= 16

Lösen einer proportionale Zuordnung mit dem Dreisatz

Frau Meyer hat für 3 m Stoff 48 € bezahlt. Frau Schulze möchte 5 m des gleichen Stoffes kaufen. Wie viel € muss Frau Schulze bezahlen?

1. Ansatz:

3 Meter Stoff kosten 48 €.

5 Meter Stoff kosten ? €.

2.Dreisatz:

3 m kosten 48 €.

1 m kostet 48 € : 3 = 16 €.

5 m kosten 16 € . 5 = 80 €.

3. Antwort:

Für 5 Meter Stoff muss Frau Schulze 80 € bezahlen.
 

In der grafischen Darstellung entsteht bei einer proportionalen Zuordnung eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Das ist der Punkt (0;0).
 
 

Antiproportionale Zuordnungen
 
 
Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn gilt:
Je mehr... desto weniger
Zum Doppelten der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe,
Zum Dreifachen der einen Größe gehört ein Drittel der anderen Größe usw.,
Je weniger... desto mehr
Zur Hälfte der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe,
Zum Viertel der einen Größe gehört das Vierfache der anderen Größe usw..

Beispiel einer antiproportionalen Zuordnungstabelle:
 
Fahrzeuge 1 2 3 4 5 6
Zeit (in h)  24 12 8 6 4,8 4
Wir erkennen antiproportionale Zuordnungen daran, dass einander zugeordnete Größen immer dasselbe Produkt ergeben.
Wir sagen: Zusammengehörige Größen sind produktgleich.
Fahrzeuge . h = Produkt 24 . 1 = 24 12 . 2 = 24 8 . 3 = 
24
6 . 4 = 
24
4,8 . 5 = 24  4 . 6 = 
24

Lösen einer antiproportionale Zuordnung mit dem Dreisatz

Zwei Pumpfahrzeuge der Feuerwehr benötigen für das Leerpumpen eines künstlich angelegten Sees 12 Stunden. Wie viel Stunden würden 3 Pumpfahrzeuge der Feuerwehr dafür benötigen?

1. Ansatz:

2 Fahrzeuge benötigen 12 Stunden.

3 Fahrzeuge benötigen ? Stunden.

2.Dreisatz:

2 Fahrzeuge benötigen 12 Stunden.

1 Fahrzeug benötigt 2 . 12 h = 24 h.

3 Fahrzeuge benötigen 24 h : 3 = 8 h.

3. Antwort:

3 Pumpfahrzeuge benötigen für das Leerpumpen des künstlichen Sees 8 Stunden.
 

In der grafischen Darstellung entsteht bei einer antiproportionalen Zuordnung eine Kurve.